什麼是「續方程」？由二元一次升級到二元二次

如果你讀過中四的「二元一次方程」，你應該已經熟悉用兩條直線去搵交點，例如解兩個方程搵一對 $x, y$。而到中五，「續方程」其實就係在原有基礎上「升級」——其中一條方程會變成「二次」，例如 $y = ax^2 + bx + c$。

簡單理解：以前你處理的是「直線 + 直線」，而家變成「直線 + 拋物線」。因為圖像變複雜，答案（即解）嘅數量都會唔同，有可能係 0、1 或 2 個解。

重點係，你要知道： 方程的「解」其實代表兩條圖線交點的座標。當變成一條曲線加一條直線，交點自然可以多過一次。所以相比純二元一次方程（通常只有一個解），呢一課你要開始接受「多解」甚至「冇解」的可能。

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解題核心技巧：代入法＋化為二次方程

考試最常用的方法係代入法。即係先由簡單的那一條（通常係一次方程）抽出一個變數，再代入另一條方程，最後變成單一未知數的二次方程。

例如： 如果有
$y = 2x + 1$
$y = x^2 – 3x + 2$

你可以將第一條代入第二條，變成： $2x + 1 = x^2 – 3x + 2$

然後整理成： $x^2 – 5x + 1 = 0$

之後就用你熟悉的方法（因式分解 / 二次公式）解出 $x$，再代回求 $y$。

呢個過程你會見到幾個HKDSE重點： 方程式可以轉換形式，關鍵係「消去一個未知數」，最後變成你熟悉的二次方程。整個思路其實係「一步步簡化問題」。

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要小心的位：解的合理性與應用題

到考試階段，最容易失分的地方唔係唔識計，而係「無檢查答案」。

例如涉及三角函數的題目： 如果你解到 $sin\theta = 2$，你要即刻知道「唔可能」，因為 $sin\theta$ 只會介乎 -1 至 1。即係話，就算你計到答案，都要諗「有冇實際意義」。

另外，應用題（文字題）會要求你將現實情境寫成方程，例如速度、面積、角度等等。呢啲題目重點唔只係解方程，而係： 你要識將情境轉化成數學關係，然後再用代數技巧解。

有時會出現多個解，但題目可能只接受其中一個，例如長度唔可以係負數，角度只限 0° 到 360°。所以最後一步一定係「代回＋判斷」。

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讀續方程，其實唔係難在計算，而係理解「方程之間的關係」

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HKDSE數學延伸攻略：二元二次與解的合理性全掌握

二元二次是什麼？考試常見形式與特點

去到HKDSE，中五續方程最重要嘅升級位，就係「二元二次方程」。簡單講，即係含有兩個未知數，而且當中至少有一個係二次（例如 $x^2$、$xy$）。

不過你要注意：必修部分最常見嘅形式其實係「可轉化」的類型，例如： $y = ax^2 + bx + c$

即係話，考試唔會刻意刁難你畫複雜圖像（例如 $xy + y^2 = 1$ 呢類），而係集中考你： 如何將二元問題變成一元二次方程去處理。

從用途上理解： 二元二次其實係一個「工具」，幫你由兩個未知數，透過代入，化簡成你熟悉的二次方程。只要你識解二次方程（因式分解、公式法），已經可以應付大部分題型。

而圖像上，你可以簡單記住： 直線 + 拋物線 → 最多有兩個交點 → 即最多兩個解。

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解的合理性：唔係有答案就等於正確

HKDSE非常重視「解的合理性」，即係：計出嚟的答案，係咪真係合理？

常見考法有幾種：

第一種係數值限制，例如長度、時間、距離等等，唔可以係負數。如果你解到 $x = -3$，但題目講緊長度，你就要剔走呢個解。

第二種係三角函數，例如： $2\sin^2\theta – 5\sin\theta + 2 = 0$

你可能解到： $\sin\theta = 2$ 或 $\sin\theta = \frac{1}{2}$

但要記住： $\sin\theta$ 範圍只係 -1 至 1，所以「2」係唔可能，必須捨棄。

第三種係角度範圍限制： HKDSE通常只接受 $0° \le \theta \le 360°$，所以即使你有一般解，都要轉化並揀合適範圍。

核心觀念： 解方程只係「數學答案」，但考試要你進一步判斷「現實或條件上可唔可以成立」。

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必識解題套路：HKDSE穩分步驟與技巧

以下係續方程＋二元二次的標準思路，你熟練後可以大幅減少失誤：

首先，利用代入法消去一個未知數。通常揀一條簡單（一次）的方程，例如 $y = …$。

之後，代入另一條方程，整理成標準二次方程： $ax^2 + bx + c = 0$

再用適當方法解，例如： 二次公式：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

接著，代回原式求另一個未知數。

最後（最重要）：檢查答案是否合理，包括： 是否符合題目情況、是否在指定範圍、是否為實數。

另外，HKDSE有時會考你「解的數目」： 你可以用判別式 $Δ = b^2 – 4ac$ 判斷： 當 $Δ > 0$：兩個解
當 $Δ = 0$：一個解（切線情況）
當 $Δ < 0$：無實數解

呢個概念可以幫你快速判斷圖像交點數目，非常實用。

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總結來講，續方程其實係一條清晰的主線： 由「二元」問題出發 → 用代入變成「一元二次」 → 解 → 判斷合理性。

只要你掌握「轉換能力」同「篩選答案」，呢一課唔單止唔難，仲係可以穩拿分的範圍。