你是否曾經在數學課上遇過像這樣的題目：
【數學解題技巧】因式分解這樣做！以 18y – 6x – 3(x – 3y)² 為例
將以下代數式因式分解：
[ 18y – 6x – 3(x – 3y)² ]
看起來好像很複雜？別擔心！今天我們就用這一題，帶你一步步拆解，學會如何處理這類看似困難的因式分解題目！
Step by Step 解題步驟
第一步：展開平方項
先處理 ((x – 3y)²)：
[ (x – 3y)² = x² – 6xy + 9y² ]第二步：代入並展開整個式子
將展開的結果代入原式：
[ 18y – 6x – 3(x² – 6xy + 9y²) ]接著分配 (-3)：
[ 18y – 6x – 3x² + 18xy – 27y² ]第三步：整理項目
將項目重新排列，方便觀察：
[ -3x² + 18xy – 6x + 18y – 27y² ]第四步：提出公因式
觀察每一項都有 3 的倍數，我們提出公因式 3：
[ 3(-x² + 6xy – 2x + 6y – 9y²) ]第五步：觀察並重組為乘積形式
這一步是關鍵！我們觀察括號內的項目，發現它可以重組為：
[ 3(3y – x)(2 – 3y + x) ]你可以驗證一下，這兩個括號相乘後再乘以 3，會剛好等於原式！
重點︰如何判斷重新排列括號內項目： 3(6xy – x2) 並重組為乘積形式： 3(3y – x)(2 – 3y + x) ??
這是一個非常關鍵的問題，因為從
3(6xy – x² – 2x + 6y – 9y²)
判斷出可以重組為
3(3y – x)(2 – 3y + x)
需要觀察力與經驗。以下是清楚的判斷步驟與思路：
第一步：觀察項目結構
原式括號內為：
6xy – x² – 2x + 6y – 9y²
這些項目看起來雜亂，但我們可以嘗試重新排列為：
- x² + 6xy – 2x + 6y – 9y²
這樣更容易看出它可能來自某種乘法展開。
第二步：猜測可能的因式結構
觀察到有：
- x²、xy、y² → 可能來自兩個二項式相乘
- 項目中有 3y – x 的影子（因為 6xy 和 -x² 來自 (3y – x)(?)）
所以我們嘗試設：
(3y – x)(A + Bx + Cy)
然後展開看看能否對應原式。
第三步：驗證乘積形式
試展開：
(3y – x)(2 – 3y + x)
使用分配律：
= 3y(2 – 3y + x) – x(2 – 3y + x)
= 6y – 9y² + 3xy – 2x + 3xy – x²
合併同類項：
- x² + 6xy – 2x + 6y – 9y²
這正是括號內的內容！
第四步：總結判斷技巧
- 觀察是否有平方項與交叉項（如 x²、xy、y²）
- 嘗試配對出常見結構，如 (a – b)(c + d)
- 代入驗算，確認展開後與原式一致
- 記住常見因式結構，如 (3y – x)(2 – 3y + x)，有助於快速辨識
學習重點整理
| 重點 | 說明 |
|---|---|
| ✅ 展開平方項 | 使用公式 ((a – b)² = a² – 2ab + b²) |
| ✅ 小心符號 | 特別是負號分配時，容易出錯 |
| ✅ 整理項目 | 重新排列有助於觀察因式結構 |
| ✅ 提出公因式 | 先提出最大公因式，簡化後續步驟 |
| ✅ 驗證因式分解 | 展開乘積，確認與原式相同 |
小技巧：如何猜出因式？
- 看見 (x²)、(xy)、(y²) 時，試著想想是否來自兩個括號相乘
- 嘗試設一個括號，例如 ((3y – x))，再用配對法找出另一個括號
- 驗算是關鍵！代入簡單的數值（如 (x = 0, y = 1)）檢查是否相等
因式分解不只是機械地套公式，更是一種「觀察」與「重組」的藝術
只要掌握展開、整理、提出公因式、觀察結構這幾個步驟，你也能輕鬆破解看似困難的題目！
如果你喜歡這種解題教學，歡迎留言告訴我你想學哪一類題型，我們一起變強 ！